1. Definition & Alltag
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik) befasst sich mit der mathematischen Modellierung von Zufallsvorgängen. Sie versucht vorherzusagen, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ergebnis eintritt.
Zufallssimulator
2. Grundbegriffe
Zufallsversuch
Ein Experiment mit ungewissem Ausgang, das unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist (z.B. Münzwurf).
Ereignis (E)
Eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω.
Bsp: "Gerade Zahl würfeln" -> E = {2, 4, 6}.
Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse beeinflussen sich nicht.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Bedingte Wahrsch.
Wahrscheinlichkeit von A, wenn B bereits eingetreten ist.
P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B)
3. Wahrscheinlichkeitsformel
Formel von Laplace
Gilt nur, wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind!
Mathe-Tools
Laplace Rechner
Gegenereignis (1 - p)
4. Zufallsexperimente & Pfadregeln
Ein- vs. Mehrstufig
- Einstufig: Einmal würfeln, einmal ziehen.
- Mehrstufig: Mehrmals hintereinander (z.B. "Best of 3"). Wird meist im Baumdiagramm dargestellt.
Die Pfadregeln
5. Baumdiagramm
Visualisiert mehrstufige Experimente. Jeder vollständige Pfad ist ein Elementarereignis.
Vierfeldertafel
| A | A̅ | Σ | |
|---|---|---|---|
| B | P(A∩B) | P(A̅∩B) | P(B) |
| B̅ | P(A∩B̅) | P(A̅∩B̅) | P(B̅) |
| Σ | P(A) | P(A̅) | 1 |
Ideal zur Untersuchung von Zusammenhängen zweier Ereignisse und bedingter Wahrscheinlichkeiten.
6. Erwartungswert & Standardabweichung
Erwartungswert (μ)
Gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable im Durchschnitt bei vielen Wiederholungen annimmt.
Fairness: Ein Spiel ist fair, wenn μ = 0 (oder Einsatz = Auszahlung).
Standardabweichung (σ)
Ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert.
Hohes σ bedeutet hohes Risiko / große Schwankung.
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